-를 두번 곱하면 왜 +가 될까 마이너스의 제곱은 플러스가 되는 이유

"-"를 두번 곱하면 왜 "+"가 되어요 ?

요즘 한창 공부에 열중인 조카가 질문한다. "-2" 앞에 - 부호를 붙이면 왜 "+2"로 부호가 바뀌는지 궁금하다고 한다.

학창시절 선생님께서는 아무런 설명없이 "-"는 두번 곱해지면 무조건 "+"가 되니 외우라고 했던 기억이 난다. 그래서 아무런 의심도 하지않고 외우고, 수학문제를 풀때마다 이 원칙을 적용했다.

그런데 왜 부호에 불과한 "-"라는 것이 두번 곱해지면 "+"로 바뀌게 될까? 증명에 철저한 수학이 단지 약속만으로  이렇게 정의하지는 않았을 것이다.

이에 "-"가 두번 곱해지면 왜 "+"가 되는지 알아보고자 한다.

 

"-"와 '+"는 0을 기준으로 상대적 위치의 의미 !

"-"는 숫자 0을 기준으로 이보다 작은 것을 의미한다. "+"는 0보다 큰 쪽에 있다는 의미이다. 따라서 -2는 0보다 2 작은 것이다. 그런데 -2앞에 -를 다시 붙이면 어떻게 될까 ? 

-2: 0보다 2 작은 것

-(-2): 괄호안이 0보다 2 작은 것이나, 괄호 앞에 - 부호가 붙으면서 방향이 바뀐다. 따라서 -(-2)는 0보다 2가 큰 +2가 된다.

이처럼 수학적 정의에 의해 -가 두번 붙으면 +로 바뀌게 된다.

 

"-"를 두번 붙이거나 "-"를 짝수번 곱하면 "+"로 부호가 바뀐다 !

위에 설명한 부호의 상대적 위치는 수학전체에 적용된다. 실질적으로 사칙연산인 덧셈, 뺄샘, 곱셈, 나눗셈 모두에 적용된다는 의미이다.

괄호 밖에 - 기호가 붙는 것은 실제로는 곱셈의 의미이다. -(-2)는 (-1)X(-2)로 표시할 수 있다. "-"가 붙는 순간 숫자의 위치가 0을 기준으로 반대 방향에 가면서 부호 자체가 바뀌게 되는 것이다.

따라서 "-" 기호는 특성상 짝수로 곱해지만 "+"로 바뀐다. 홀수번 곱해지면 "-" 영역에 그대로 머문다.

-(-(-2)의 경우 "-" 기호가 3개 붙었다 처음에 작은 곳에 머물렀다가 두번째 -에 의해 큰 곳에 갔다가 다시 -가 붙어 작은 곳으로 내려온 것이다. 결과적으로 -(-(-2) = -2가 된다.

 

"-"라는 기호의 마법 ! 신기한 수학의 세계를 즐기자 !

아이들이 산수를 접하면서 신기하고도 어려운 숫자의 세계에 들어간다. 그런데 숫자 세계의 규칙과 정의를 알지 못하고 무조건 외우게 한다면 수학을 못하는 아이가 될 가능성이 높다.

이제 숫자, 산수를 배우는 아이가 있다면 부모가 먼저 정의를 이해하고 아이에게 그 원리를 설명해 주자. 놀이하면서 +와 -의 개념을 설명한다면 그 아이는 숫자의 세계가 전혀 어렵지 않을 것이다.

똑똑한 아이, 공부 잘하는 아이 역시 부모의 손길과 정성에서 시작될 수도 있음이다.